Ungleichungen

 

Eine Ungleichung beschreibt, wie sich zwei Terme zueinander verhalten. Dabei kann ein Term kleiner (<), größer (>), kleiner-gleich (≤) oder größer-gleich (≥) dem anderen sein. Kleiner-gleich bedeutet dabei, dass für die Ungleichung x ≤ y die Lösungsmenge für x auch y enthalten kann, was bei x < y nicht der Fall ist.

1 < 4 ..... 2

3 ..... 3

3
6 > 3   5

2   4

4

 

Die Lösungsmengen von Ungleichungen unterschieden sich insofern von Lösungsmengen von Gleichung, dass sie nicht nur eine Zahl enthalten bzw. leer sind, sondern unendlich viele Lösungen oder Lösungen innerhalb eines bestimmten Intervalls enthalten können. Außerdem kann die Lösungsmenge durch mehrere  vereinfachte Ungleichungen, von denen alle oder einzelne erfüllt sein müssen, gegeben sein.

Um eine Ungleichung zu lösen arbeitet man meist, wie bei Gleichungen auch, mit Äquivalenzumformungen. Das sind Rechnungen, die die Lösungsmenge der Ungleichung nicht verändern.

Eine dieser Umformungen ist die Addition einer Zahl oder eines Terms zu beiden Seiten der Ungleichung. Die Zahl bzw. der Term können dabei sowohl positiv als auch negativ sein. Stellt man sich beide Seiten der Ungleichung als Punkte auf einer Zahlengerade vor, so wird klar, dass sich die beiden Punkte nur verschieben, ihre Beziehung zueinander aber gleichbleibt und sich die Lösungsmenge somit nicht verändert.

12 < 27 | +10     . 27 12 | -16
22 < 37           11 -4    

Die Multiplikation mit einer Zahl oder einem Term stellte eine weitere Äquivalenzumformung dar.  Dabei ist allerdings darauf zu achten, dass das Ordnungszeichen gedreht werden muss, wenn mit einem negativen Wert multipliziert wird (aus < wird also > usw.). 

3 5 | ·(-2)       16 > -12 | :(-4)
-6

-10           -4

3    
-6 -10           -4 < 3    

 

Eine weitere Möglichkeit eine Ungleichung zu lösen ist die der Fallunterscheidung. Besteht eine Seite der Ungleichung beispielsweise aus einem Bruch, dessen Nenner x ist, so kann x nicht 0 sein, da ein solcher Bruch nicht definiert ist. Man erhält somit zwei Fälle: entweder ist x kleiner oder größer als Null. Nun kann man beide Seiten der Ungleich mit x multiplizieren. Dies tut man zweimal, wobei sich das Ordnungszeichen einmal umkehrt, da x ja kleiner als 0 und somit negativ sein muss.

Wenn x > 0 :

........................

  .......          

Wenn x < 0 :

........................

  .......    
10 / x

<

5 | · x      

10 / x

<

5

|

· x

10

< 5 · x   .....      

10

> 5 · x   .....

 

Betrachtet man Ungleichungen als Gleichung, ersetzt man also das jeweilige Ungleichheitszeichen durch ein Gleichzeichen, und löst die so entstandene Gleichung auf erhält man eine endliche Zahl an Lösungen. Diese Lösungen sind die Eckpunkte von Intervallen, die entweder Lösungen oder nicht-Lösungen enthalten. Welcher Fall vorliegt kann man durch Einsetzen von Werten die zwischen zwei der Lösungen liegen herausfinden.

10 = 5 · x | : 5       10 = 5 · x | : 5
2 = x           2 = x    

Die Lösung der Ungleichung ist also entweder 2 oder ungleich 2. Wenn man 2 in die Ursprungsungleichung 10/x<5 einsetzt erhält man 5<5. Da diese Aussage falsch ist, erhält man die Lösungsmenge: L={x≠2}

 

Quadratische Ungleichungen löst man mit Hilfe der pq-Formel. Dazu löst man die Ungleichung zunächst nach 0 auf, sodass sich x+ px + q  0 bzw. x+ px + q  0 ergibt. Nun setzt man in die pq-Formel, alsodie Werte für p und q ein. Es ergeben sich zwei Werte für x, die die Grenzen des Intervalls der Lösungsmenge sind.

  x2 - x + 4 · x - 4    
Ungleichung nach 0 auflösen: x2 - 6 · x + 8 0    
In die pq-Formel einsetzen: x = = ± 1
Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind dementsprechend: x1 = 3 + 1 = 4
  x2 = 3 - 1 = 2
  .........................................   ...................................................   ....................
Mögliche Lösungsintervalle: 1. Lösung:   2. Lösung   3. Lösung
 

 

 

Um zu überprüfen, welche Intervalle zur Lösung gehören, wählt man aus jedem Intervall eine Zahl und setzt sie in die Ungleichung ein. Ergibt sich eine wahre Aussage, gehört das jeweilige Intervall zur Lösung.

1. Intervall Zahl aus dem Intervall: x = 0   
   02 - 6 · 0 + 8 0
  8 0
       
2. Intervall Zahl aus dem Intervall: x = 3
  32 - 6 · 3 + 8   
  -1  
       
3. Intervall  Zahl aus dem Intervall: x = 6   
  62 - 6 · 6 + 8 0
  8 0

Nur für das 2. Intervall entsteht eine falsche Aussage, daher sind das 1. und das 3. Intervall in der Lösung enthalten.

Eine sehr bekannte Ungleichung ist die Dreiecksungleichung. Sie besagt, dass eine Dreiecksseite höchstens so lang wie die Summe der Längen der anderen beiden Seiten sein kann. Es gilt also c ≤ a + b. Ist eine Seite länger als die Summe der anderen, so ist das Dreieck nicht konstruierbar.